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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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10. Sea $f(x)=\frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1}$. Halle la imagen de $f$.

Respuesta

Como vimos en clase, para responder a la pregunta de la imagen no nos queda otra opción que hacer un estudio de función completo. Recién cuando tengamos el gráfico aproximado, vamos a poder ver cuál es la imagen de $f$.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$

El dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$ (fijate que ese denominador nunca vale cero!)
2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1}$

Aplicamos L'Hopital

$\lim_{x \to +\infty} \frac{24 e^{x}}{3 e^{x}} = \frac{24}{3} = 8$

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 8$ en $+\infty$. Vamos ahora con el límite en $-\infty$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1} = 0$

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $-\infty$ 
3) Calculamos $f'(x)$:

\( f'(x) = \frac{(24e^x)(3e^x + 1) - (24e^x)(3e^x)}{(3e^x + 1)^2} \)

Reacomodamos un poco:

\( f'(x) = \frac{72e^{2x} + 24e^x - 72e^{2x}}{(3e^x + 1)^2} \) \( f'(x) = \frac{24e^x}{(3e^x + 1)^2} \)  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$\frac{24e^x}{(3e^x + 1)^2} = 0$

$24e^x = 0$

Esta expresión nunca vale $0$, por lo tanto $f$ no tiene puntos críticos. Y algo más, mirando la expresión de $f'(x)$ vemos que es siempre positiva. Por lo tanto $f$ es siempre creciente. 

Juntando todo, vamos armando nuestro gráfico:

2024-04-20%2010:58:12_3265430.png

Entonces, viendo el gráfico que obtuvimos, la imagen de $f$ es $(0, 8)$
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Avatar ian 22 de mayo 15:54
porque pasa por 6? no entendí eso, el resto muy claro
Avatar Flor Profesor 22 de mayo 17:45
@ian
Hola Ian! En realidad vos en el parcial no es necesario que, por ejemplo, aclares que la función corta al eje $y$ justo en el $6$

O sea, con la información que fuimos juntando, ya con darte cuenta que tiene una asíntota en $y = 0$ en $-\infty$ y en $y = 8$ en $+\infty$, sumado a que es siempre creciente, hacés un gráfico aproximado y ahi ya ves que la imagen es $(0,8)$ y podés responder a la pregunta. Acá justo GeoGebra nos marca que corta al eje $y$ en el $6$, si quisieras te podrías dar cuenta de eso evaluando la función en $x=0$ (fijate que justo ese es el punto de coordenada $x=0$ y $f(0) = 6$). Pero repito, cuando te armas el gráfico para responder a la pregunta de la imagen no es necesario saber exactamente dónde cortaba el eje y en este caso
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